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数学における作用（さよう、''action'', operation）は、代数系にその上の変換写像の集まりを代数的構造として考え合わせたもの。幾何学的には空間（俗な意味で言えば図形）の運動の様子とその原因となるものの構造を記述する概念である。 抽象群などの抽象的に与えられる代数的構造を、その作用を通して具体的な空間上の運動全体がつくる構造として表現することによって特徴付けるという手法に基づいて展開される数学の一分野は表現論と呼ばれる。 == 定義 == 台集合が ''A'' である代数系の上の作用素（さようそ、operator）とは、集合 ''A'' 上の変換 θ: ''A'' → ''A'' のことである。文字の集合 Ω を与え、Ω の異なる文字が同じ作用素を与えることも許して、Ω から代数系 ''A'' 上の作用素族（これをここでは仮に Trans(''A'') と記す）への写像 を与えたとき、集合 Ω は代数系 ''A'' に作用 (act, operate) する、代数系 ''A'' に集合 Ω の作用が定められるという。またこのとき、''A'' を Ω-代数系〔代数系 ''A'' が集合なら Ω-集合、群なら Ω-群などという。〕、Ω の表現空間などと呼び、Ω を ''A'' の作用域（さよういき、operation domain）あるいは作用団と呼ぶ。 作用域 Ω, 写像 σ, 表現空間 ''A'' の組 (σ, Ω, ''A'') を Ω の ''A'' への作用 (action) あるいは ''A'' における Ω の表現（ひょうげん、）と呼び、誤解のおそれの無い場合は単に写像 σ で表す。また文字 ω が作用 σ によって ''A'' に定める作用素 σ(ω) は、しばしば（作用 σ を省略して）もとの文字と同じく ω で表される。 集合 ''A'' には、その各元 ''x'' に対して ''x'' 自身を返す「なにもしない」変換（恒等変換）が自然に備わっているので、作用域として別の集合 Ω が任意に与えられたとき、Ω の各作用素 ω を恒等変換（恒等作用素）として Ω の ''A'' への「なにもしない」作用を定めることができる。これを Ω の ''A'' への自明な作用という。 作用 (σ, Ω, ''A'') に対して、''A'' の部分集合 ''B'' が作用 σ について閉じているとき、つまり ''A'' 上の作用素 σ(ω): ''A'' → ''A'' の定義域の制限 σ(ω)|''B'': ''B'' → ''B'' によって写像 を考えると組 (σ|''B'', Ω, ''B'') が再び作用になるとき、''B'' は作用 σ に関して Ω-安定（あんてい、）であるとか Ω-不変（ふへん、）もしくは固有（こゆう、）であるなどといい、また ''B'' は ''A'' の部分 Ω-代数系あるいは部分表現であるという。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「作用 (数学)」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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